Soruda ifade edilen, A nın kaç tane alt kümesinde 1 ve 2, 2 ve 3, ... , 10 ve 11 sayılarının birlikte bulunmadığıdır.
Öncelikle, 7 ve 7 den çok elemanlı alt kümelerde mecburen ardışık elemanlarımız olacaktır. Çünkü, {1,3,5,7,9,11} kümesine bir 7. eleman eklendiğinde ardışık tamsayı ikilisi elde etmemiz kaçınılmazdır.
O halde soruyu en fazla 6 elemanlı alt kümeler için çözeceğiz.
0 elemanlı alt küme sayısı ile başlarsak, sadece boş küme olduğundan 1 tanedir.
1 elemanlı alt küme sayısı C(11,1) = 11 dir. Çünkü 1 elemanlı kümenin elemanlarının ardışık olması düşünülemez.
2 elemanlı alt küme sayısı için, C(11,2) olan tüm 2 elemanlı alt kümelerden ardışık elemanlara sahip alt kümeleri çıkaracağız. Ardışık elemanlı {1,2}, {2,3}, {3,4}, ... , {10,11} olmak üzere 10 tane alt küme vardır. Yani, 2 elemanlı C(11,2) - 10 = 55 - 10 = 45 tane alt kümemiz vardır.
Bu noktaya kadar işler istediğimiz gibi gitmiştir. Bu noktadan sonra sorumuz karmaşık bir hal alır. Bu durumla baş etmek için, kümemizi iki ayrık alt kümeye ayıralım.
M = {1,3,5,7,9,11} ve N = {2,4,6,8,10}
M ve N kümelerini en çok elemanlı birbirinin ardışığı olmayan elemanları içerecek şekilde seçtik. Şimdi, M ve N den sayıları en çok 6 tane olacak şekilde elemanlar seçeceğiz.
3 elemanlı alt küme sayısı için, M ve N den aşağıdaki tablodaki gibi seçimler yapacağız.
| M | N | Alt küme sayısı |
| 3 | 0 | C(6,3)=20 |
| 2 | 1 | C(4,2).C(5,1)=30 |
| 1 | 2 | C(4,2).2+C(3,2).4=24 |
| 0 | 3 | C(5,3)=10 |
| Toplam | 20+30+24+10=84 | |
İzah edilmesi gereken s(M)=1 ve s(N)=2 durumu vardır. M den 1 yada 11 i seçtiğimizde, 1 için N den ardışık olmayan {4,6,8,10} ve 11 için de N den {2,4,6,8} gibi 4 elemanlı kümelerden 2 eleman seçeriz. O yüzden, C(4,2) ile 2 çarpılmıştır. M den 3,5,7 ve 9 dan birini seçtiğimizde ise N den her seferinde 3 elemanlı bir kümeden seçim yapma durumumuz vardır.Örneğin, 3 için, {6,8,10} gibi. O yüzden, Bu durum da C(3,2).4 ile hesaplanmıştır.
4 elemanlı alt küme sayısı için, M ve N den aşağıdaki tablodaki gibi seçimler yapacağız.
| M | N | Alt küme sayısı |
| 4 | 0 | C(6,4)=15 |
| 3 | 1 | C(4,3).5=20 |
| 2 | 2 | 4.C(3,2)+6.C(2,2)=18 |
| 1 | 3 | 4.C(3,3)+2.C(4,3)=12 |
| 0 | 4 | C(5,4)=5 |
| Toplam | 15+20+18+12+5=70 | |
Tabloda izah edilmesi gereken noktalar, önceki tablodakine benzemektedir. Hesaplamalar, ardışık elemanlar yerleştirmeme esasına göre yapılmıştır.
5 elemanlı alt küme sayısı için, M ve N den aşağıdaki tablodaki gibi seçimler yapacağız.
| M | N | Alt küme sayısı |
| 5 | 0 | C(6,5)=6 |
| 4 | 1 | C(5,1)=5 |
| 3 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 3 |
| 1 | 4 | 2 |
| 0 | 5 | C(5,5)=1 |
| Toplam | 6+5+4+3+2+1=21 | |
6 elemanlı alt küme sayısı sadece M kümesinden seçilecek elemanlar ile bulunur. O halde, 6 elemanlı alt küme sayısını C(6,6) = 1 dır.
Tüm alt küme sayılarını bir tabloda gösterelim.
| Eleman sayısı: | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Altküme sayısı: | 1 | 11 | 45 | 84 | 70 | 21 | 1 |
Bütün altküme sayılarını toplayalım, 1+11+45+84+70+21+1=233 elde ederiz.
